Minggu, 10 April 2011

Statistika Binomial, Poisson, dan Normal


MAKALAH STATISTIKA
(SEBARAN BINOMIAL, POISSON DAN NORMAL)










DISUSUN OLEH :
KELOMPOK IVC
             1.         Teguh Ilmiawan                                (23010110120065)





FAKULTAS PETERNAKAN
UNIVERSITAS DIPONEGORO
SEMARANG
2011


BAB I

PENDAHULUAN

            Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Sedangkan statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.
Kejadian yang sering atau jarang terjadi dikatakan mempunyai peluang terjadi yang besar atau kecil. Keseluruhan nilai-nilai peluang biasa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial, pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi.
 Tiga buah sebaran teoritis yang paling terkenal, diantaranya dua buah sebaran peluang yang diskrit dan sebaran yang kontinyu. Kedua sebaran yang teoritis yang deskrit itu ialah sebaran binomial dan sebaran Poisson. Sebaran kontinyu nya adalah sebaran normal.






BAB II
ISI
Distribusi probabilitas dipergunakan untuk menggambarkan frekuensi relatif munculnya harga-harga tertentu (yang dapat dihitung maupun diukur) dari suatu variabel random. Beberapa macam dari distribusi probabilitas atau density distribution untuk variabel random yang deskrit yaitu distribusi binomial, distribusi multinominal, dan distribusi Poisson. Sedangkan untuk variabel random yang kontinyu adalah distribusi normal (Gaussian).

2.1. Distribusi Binomial       
Tindakan yang hasilnya terdiri dari dua kategori. Binomial dalah sebaran deskrit yang digunakan untuk menduga peluang keluaran tertentu muncul sebanyak x kali dalam suatu contoh terhingga berukuran yang diambil dari suatu populasi tak terhingga dimana peluang munculnya keluaran tersebut konstan sebesar p.  Percobaan yang berulang-ulang dari eksperimen dimanakan Percobaan Bernnoulli.
Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Percobaan diulang n kali
2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke  dalam 2 kelas;
Misal:  "BERHASIL" atau  "GAGAL"  
("YA" atau "TIDAK";  "SUCCESS" or "FAILED")

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.
Peluang gagal = q = 1- p.
4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

Sifat distribusi binomial
Nilai tengah
µ = Np
Varians
s2 = Npq
Simpangan  baku
s =

Koefisisen momen kemencengan
a3= 
Koefisien momen kurtosis
a4=  3 +

Definisi Distribusi Peluang Binomial 

                             untuk x = 0,1,23,...,n

n: banyaknya ulangan
x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X
p: peluang berhasil pada setiap ulangan
q: peluang gagal =  1 - p pada setiap ulangan






Contoh 1 :
Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!
Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"
x = 3
n = 5 pelemparan diulang 5 kali
p =                           q =  1-  =
                     =  = 10 ´ 0.003215...= 0.03215...
Contoh 2:
Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?
Dik                  :
Kejadian yang ditanyakan ® Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOS
Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60
p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40                   x = 2,                           n = 5
Ditanya           : b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = ....................
Jawab              :


                          =  = 60 x 0,16 x 0,36 = 3,456

2.1.1        Tabel Peluang Binomial
Soal-soal peluang peluang binomial dapat diselesaikan dengan bantuan Tabel Distribusi Peluang Binomial (Lihat hal  157-162, Statistika 2)
Cara membaca Tabel tersebut :
Misal :
           n          x          p = 0.10           p = 0.15           p = 0.20   dst
            5          0          0.5905             0.4437             0.3277
                        1          0.3280             0.3915             0.4096
                        2          0.0729             0.1382             0.2048
                        3          0.0081             0.0244             0.0512
                        4          0.0004             0.0020             0.0064
                        5          0.0000             0.0001             0.0003
           
Perhatikan Total setiap Kolom p = 1.0000 (atau karena pembulatan, nilainya tidak persis = 1.0000  hanya mendekati 1.0000)
x = 0    n = 5    p = 0.10                                   b(0; 5, 0.10) = 0.5905
x =1     n = 5    p = 0.10                                   b(1; 5, 0.10) = 0.3280
Jika 0 x 2, n = 5 dan p = 0.10 maka b(x; n, p)  =
b(0; 5, 0.10)+ b(1; 5, 0.10)+b(2;5,0.10)
= 0.5905 + 0.3280 +0.0729 = 0.9914



Contoh 3 :
Suatu perusahaan “pengiriman paket ” terikat perjanjian bahwa keterlambatan paket akan menyebabkan perusahaan harus membayar biaya kompensasi. Jika Peluang setiap kiriman akan terlambat adalah 0.20  Bila terdapat 5 paket, hitunglah probabilitas :
a. Tidak ada paket yang terlambat, sehingga perusahaan tidak membayar biaya kompensasi? (x = 0)
b. Lebih dari 2 paket terlambat? (x >2)
c. Tidak Lebih dari 3 paket yang terlambat?(x £ 3)
d. Ada 2 sampai 4  paket yang terlambat?(2 £  x  £ 4)
e. Paling tidak ada 2 paket yang terlambat?(x ³ 2)
Jawab :
a. x = 0  ® b(0; 5, 0.20) = 03277 (lihat di tabel atau dihitung dgn rumus)
b. x > 2 ® Lihat tabel dan  lakukan penjumlahan sebagai berikut :
                  =b(3; 5, 0.20) + b(4; 5, 0.20) + b(5; 5, 0.20) 
= 0.0512+ 0.0064 + 0.0003  = 0.0579
            atau .....
            ®  1 - b(x £ 2) = 1 - [b(0; 5, 0.20) +  b(1;  5, 0.20) + b(2; 5, 0.20)
= 1 - [0.3277 + 0.4096 + 0.2048)=  1 - 0.9421 = 0.0579 




Rata-rata dan Ragam Distribusi Binomial b(x; n, p) adalah
                                    Rata-rata   = np
                                    Ragam   s 1/²  = npq
n = ukuran populasi
p = peluang keberhasilan setiap ulangan
q = 1 - p = peluang gagal setiap ulangan
         
Sebaran binom dapat digeneralisasikan sehingga menghasilkan sebaran multinom yang berhubungan dengan percobaan yang mempunyai kemungkinan hasil lebih dari dua macam pada setiap tindakan (trial). Dari beberapa kemungkinan hasil itu, hanya satu yang terjadi pada setiap tindakan.
Contoh 4 :
Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogen sekaligus. Berapa peluang munculnya mata enam sebanyak 8 buah ?
Dik : Kita tahu bahwa π = P (mata enam) dan dalam hal ini N = 10 , X = 8, dengan X berarti muka bermata enam Nampak di sebelah atas. Maka :
Ditanya           : P(X=8)=….???
P (X)=
N
px
qn-x
X
 Jawab             :

P ( X = 8 ) =  8    2  =  0, 000015
Ini berarti dalam undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata enam sebanyak 8 kali terjadi kira-kira 15 dari setiap sejuta.


Contoh 5 :
Probabilitas untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan undian dengan sebuah mata uang homogin sebanyak 10 kali adalah :
Dik                  : X= 6             
                        N= 10
Ditanya           : P(X=6)=…..???
P (X=6)=
10
(½)6 .
(½)10 = 0,2050
6
Jawab              :

Dimana X = jumlah muka G.
Contoh 6 :
Lakukan undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin sekaligus. Berapa probabilitas nampaknya bermata 6 sebanyak 8 buah adalah :
Dik      : p = P (mata 6) = 1/6
             N = 10
             X = 8
Ditanya           : P (X=8)=…..?
P (X=8)=
10
(1/6)8 .
(5/6)2 = 0,000015
8
Jawab

Ini berarti dalam undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6 sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta





Contoh 8 :
10% dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A. sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara random. Berapa probabilitas sampel itu akan berisikan benda kategori A :
a)        Semuanya
b)        Sebuah,
c)        Dua buah,
d)       Paling sedikit sebuah,
e)        Paling banyak dua buah
f)         Tentukan rata-rata terdapatnya kategori A
a.         Diket        : X = 30
 p = 0,10
N = 30
Ditanya    : P (X=30)=…..?
P (X=30)=
30
(0,10)30 .
(0.90)0 = 10-30
30





Jawab  :


Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan nol.
b.        Sebuah termasuk kategori A berarti X=1
P (X=1)=
 30
(0,10)29 .
(0,90)1 = 0,1409
1
Jawab :

Probabilitas sampel itu berisi sebuah benda kategori A= 0,1409

c.         Disini X=2, sehingga :
P (X=2) =
 30
(0,10)2 .
(0,90)28 = 0,2270
2


d.        Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti X= 1,2,3,…,30. Jadi perlu P(X=1) + P(X=2) + … + P(X=30). Tetapi P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=30) = 1, sehingga yang dicari = 1 – P(X=0)
Sekarang :
P (X=0) =
 30
(0,10)0 .
(0,90)30 = 0,0423
0


Probabilitas dalam sampel itu terdapat paling sedikit sebuah benda kategori
A = 1 – 0,0423 = 0,9577.
e.         Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti X= 0,1,2. Perlu dicari P(X=0) + P(X=1) + P(X=2). Diatas, semuanya ini telah dihitung. Hasilnya = 0,0423 + 0,1409 + 0,2270 = 0,4102.
f.         Rata-rata   = np                            = 30 (0,1) = 3
Rata-rata terdapat 3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang terdiri atas 30 buah.






2.2. Distribusi Poisson
            Distribusi Poisson sering digunakan untuk menentukan peluang sebuah peristiwa yang dalam area kesempatan tertentu diharapkan terjadinya sangat jarang. Distribusi ini juga bisa dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binom, N cukup besar sedangkan  = peluang terjadinya peristiwa A, sangat dekat dengan nol sedemikian sehingga λ = Np  tetap, maka distribusi binom didekati oleh distribusi Poisson.
            Satu-satunya parameter  distribusi Poisson adalah λ, yaitu mean dan variansi, menyatakan derajat hitungan dalam satuan waktu atau tempat. Apabila satuan tempat atau waktu berubah dengan derajat relatif tetap, maka harga λ berubah secara proporsional.
            Asumsi sebaran Poisson :
1.      Terdapat n tindakan bebas dimana n sangat besar,
2.      Hanya satu keluaran yang dipelajari,
3.      Terdapat peluang yang konstan dari munculnya kejadian setiap tindakan,
4.      Peluang lebih dari satu keluaran pada setiap tindakan sangat kecil atau dapat diabaikan.
P ( x : µ ) =   , x = 1 , 2 , 3….

 
Sebaran Poisson merupakan sebaran peluang dari peubah acak Poisson X, yang menyatakan jumlah keberhasilan dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, adalah :


Dimana µ adalah rata-rata keberhasilan selama selang waktu atau daerah tertentu dan e = 2,71828 .. (bilangan alami).
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri berikut :
1.       Hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat tidak tergantung dari hasil percobaan di selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah
2.       Peluang terjadinya suatu hasil percobaan sebanding dengan panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Hal ini berlaku hanya untuk selang waktu yang singkat   dan luas daerah yang sempit
3.        Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi pada satu selang waktu dan luasan tempat yang sama diabaikan
Definisi  Distribusi Peluang Poisson :
e : bilangan natural = 2.71828...
x : banyaknya unsur BERHASIL dalam sampel
m :  rata-rata keberhasilan
Perhatikan rumus yang digunakan! Peluang suatu kejadian Poisson hitung dari rata-rata populasi (m)


Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson (Statistika 2, hal 163-164). Cara membaca dan menggunakan Tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal:              x          m = 4.5             m = 5.0
0          0.0111             0.0067
1          0.0500             0.0337
2          0.1125             0.0842
3          0.1687             0.1404
dst       dst                   dst
15        0.0001             0.0002
poisson(2; 4.5) = 0.1125
poisson(x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)
= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736


poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x £ 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 – [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 – 0.1736 = 0.8264
Contoh 1. :
Rata-rata seorang sekretaris baru melakukan 5 kesalahan ketik per halaman.  Berapa peluang bahwa pada halaman berikut ia membuat:
a. tidak ada kesalahan?(x = 0)
b. tidak lebih  dari 3 kesalahan?( x £ 3)
c. lebih dari 3 kesalahan?(x >3)
d. paling tidak ada 3 kesalahan (x ³ 3)
Jawab:
= 5
a. x = 0 dengan rumus?  hitung poisson(0; 5)
atau dengan Tabel Distribusi Poisson di bawah x:0 dengan  = 5.0 (0; 5.0) = 0.0067
b. x 3 dengan Tabel Distribusi Poisson  hitung poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)  = 0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404 = 0.2650
c. x > 3   poisson( x 3; 5.0) = poisson(4; 5.0) + poisson(5; 5.0) + poisson (6; 5.0) +
poisson(7; 5.0) + … + poisson(15; 5.0) atau poisson(x >3) = 1 – poisson(x3)
= 1 – [poisson(0; 5.0) + poisson(1; 5.0) + poisson(2; 5.0) + poisson(3; 5.0)]
=  1 – [0.0067 + 0.0337 + 0.0842 + 0.1404]
=  1 – 0.2650
0.7350
Contoh 2. :
Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4 butir partikel radioaktif yang melewati alat pencacah selama selang waktu 1 milidetik. Berapa peluang ada 6 partikel yang masuk alat tersebut dalam selama milidetik tertentu ?
Dik        : Dengan menggunakan tanel sebaran Poisson (tabel 3) untuk x = 4 dan µ = 6, kita peroleh
Dit         : Peluang 6 partikel…???
Jawab    : P (6 ; 4) =
    Σ6x = 0p(x; 4) - Σ5x = 0p (x; 4)
           = 0,88993 -0,7851 = 0,1042

Pendekatan Poisson untuk Distribusi Binomial :
·           Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial, dilakukan jika n besar (n > 20) dan p sangat kecil (p < 0.01) dengan terlebih dahulu menetapkan  p dan kemudian menetapkan  m = n x p
Contoh 3. :
Dari 1 000 orang mahasiswa 2 orang mengaku selalu terlambat masuk kuliah setiap hari, jika pada suatu hari terdapat 5 000 mahasiswa, berapa peluang ada lebih dari 3 orang yang terlambat?

Dik      : Kejadian Sukses : selalu terlambat masuk kuliah
p =  = 0.002                 n = 5 000                     x > 3
jika diselesaikan dengan peluang Binomial  ® b(x > 3; 5 000, 0.002)
tidak ada di Tabel, jika menggunakan rumus
sangat tidak praktis.
Dit       : Peluang lebih dari 3…???
Jawab  : p  =   0.002                n = 5 000                     x>3
m  = n ´ p = 0.002 ´ 5 000 = 10
diselesaikan dengan peluang Poisson ® poisson (x > 3; 10) = 1 – poisson (x £ 3)
= 1 – [poisson (0;10) + poisson(1; 10) + poisson(2;10) + poisson(3; 10)
= 1 - [0.0000 +  0.0005 + 0.0023 ] = 1 – 0.0028 = 0.9972

2.3. Distribusi Normal (Gaussian)
            Distribusi Normal digunakan untuk menggambarkan distribusi dari variabel random yang kontinyu. Hampir semua distribusi kontinyu di alam digambarkan dengan distribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal :
1.      Grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
2.      Bentuknya simetrik terhadap x = µ
3.      Mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada x = µ sebesar
4.      Grafiknya mendekati sumbu datar x mulai dari x = µ + 3σ ke kanan dan x = µ - 3σ ke kiri
5.      Luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi.
Ciri-ciri Distribusi Normal :
  • Nilai Peluang peubah acak dalam Distribusi Peluang Normal dinyatakan dalam luas dari di bawah kurva berbentuk genta\lonceng (bell shaped curve).
  • Kurva maupun persamaan Normal melibatkan nilai x, m dan s.
  • Keseluruhan kurva akan bernilai 1, ini mengambarkan sifat peluang yang tidak pernah negatif dan maksimal bernilai satu
  • Nilai mean, median dan modus adalah sama / berhimpit.
  • Kurvanya simetris
  • Asimptotik
  • Luas daerah yang terletak dibawah kurva dan diatas garis mendatar = 1
Sifat Sebaran Normal
         Simetris terhadap nilai tengah(μ)
         Total luasan di bawah fungsi adalah sama dengan total peluang = 1



Di mana :   P = 3,14 ; µ= mean ; s= deviasi standar dan e = 2,71828
Bila mana probabilaitas X dinyatakan dalam bentuk baku z= (X - µ) / s, maka persamaan diatas digantikan oleh bentuk baku


 




Dalam hal demikian  kita katakan bahwa z adalah didistribusikan secara normal dengan nilai tengah ( mean) nol dan varians satu.

Sifat distribusi normal
Nilai tengah
µ
Varians
s2
Simpangan baku
s
Koefisien momen kemencengan
a3 = 0
Koefisien momen kurtosis
a4 = 3
Nilai tengah simpangan
s


Suatu fungsi matematis yang memberikan frekuensi relatif suatu galat sebagai fungsi besarnya. Sebuah grafik fungsi itu akan berbentuk seperti genta atau lonceng. Gemuk kurusnya kurva tergantung atas besarnya . Nilai  yang kecil akan menyebabkan kurva tinggi dan ramping, sedang  yang besar menyebabkan kurvanya pendek dan gemuk. Sebaran normal sangat bergantung pada mean (µ)  dan variansi (σ).



Dalam soal-soal peluang Normal tanda = . £ dan ³ diabaikan,  jadi hanya ada tanda <  dan  >
Cara membaca Tabel Nilai z
z          .00       .01       .02       .03       .04       .05       .06       .07       .08       .09
0.0
0.1
0.2
::
1.0
1.1
1.2                                                                  0.3944
Contoh 1. :
Rata-rata upah seorang buruh = $ 8.00 perjam dengan simpangan baku =  $ 0.60, jika terdapat 1 000 orang buruh, hitunglah :
a.  banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80
b.  banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari $ 8.30
c. .banyak buruh yang menerima upah/jam antara $ 7.80 sampai 8.30
Dik      : m = 8.00                       s = 0.60
Dit       : a. kurang dari $ 7.80…??
              b. lebih dari $ 8.30…???
              c. antara $ 7.80 sampai $8.30…???



Jawab  :
a.         x < 7.80
P(x < 7.80) =  P(z < -0.33) = 0.5 – 0.1293 = 0.3707 (Gambarkan!)
banyak buruh yang menerima upah/jam kurang dari $ 7.80 = 0.3707 x 1 000
=  370.7 = 371 orang


 

-                                                          +         
0,3707


 

           - 0,33   0               
b.         x > 8.30
P(x > 8.30) =  P(z > 0.50) = 0.5 – 0.1915 = 0.3085 (Gambarkan!)
Banyak buruh yang menerima upah/jam lebih dari  $ 8.30  = 0.3085 x 1 000
=  308.5 = 309 orang
-                                                    +
                                                                        0,3085
 

                                           0            0,50





c.   7.80 < x < 8.30
z1 = -0.33         z2 = 0.50
P(7.80 < x < 8.30) = P(-0.33 < z < 0.50) = 0.1915 + 0.1293 = 0.3208 (Gambarkan)
Banyak buruh yang menerima upah/jam dari $ 7.80 sampai   $ 8.30
= 0.3208 x 1 000
=  320.8 = 321 orang
-                                                          +
0,1915                                       0,1293


 


                               -0,33    0     0,50

Contoh 2. :
Rata-rata panjang (mean length) dari 500 helai daun salam dari suatu ikat tertentu adalah 151 mm. Dan simpangan baku adalah 15 mm. Dengan anggapan bahwa panjang-panjang didistribusikan secara normal, cari berapa banyak lembar daun yang berukuran : a). antara 120 dan 155 mm                 b). lebih dari 185 mm
Dik      : µ rata-rata (mean length) dari 500 helai = 151 mm
              s simpangan baku (Sd) = 15 mm
              Menganggap,panjang-panjang distribusi secara normal.
Ditanya: a). antara 120 – 155 mm
              b). lebiH dari 185 mm

Jawab :
a). X=120 dan X=155 ; µ = 151 s = 15
120 – 151
= -2,0666….
= -2,07
15

Z1=
185 – 151
= 0,266….
= 2,27
15

Z2=
-                                                          +
0,4808                                                 0,1064


 


                                -2,07        0      0.27
Mencari lembar      = 0,4808 + 0,1064 = 0,5872.
Antara 120 dan 155 = 0,5872 x 500
                             = 293,6 lembar
                             = 294 lembar






185 – 151
= 2,2666….
= 2,27
15
b). X=185
Z =
      -                             +
     0,4884


 

                                              0                 2,27
Mencari lembar      = 0,5 – 0,4884 = 0,0116.
Lebih dari 185        = 0,0116 x 500
                             = 5,8 lembar
                             = 6 lembar








DAFTAR PUSTAKA
Astuti, M. 2007. Pengantar Ilmu Statistik Untuk Peternakan dan Kesehatan Hewan. Binasti Publisher, Bogor.

Day, R.A. dan Underwood, A.L. 2002. Analisis Kimia Kuantitatif Edisi Keenam. Erlangga , Jakarta.

Nugroho, S. 2007. Dasar-Dasar Metode Statistika. Grasindo, Bengkulu.

Steel, R.G.D. dan Torrie, J.H. 1991. Prinsip dan Prosedur Statistika Edisi Kedua. Gramedia, Jakarta.

Sudjana. 1975. Metoda Statistika.Tarsito, Bandung.




3 komentar:

  1. makasih ya.... jadi ngerti.

    BalasHapus
    Balasan
    1. Iya sama-sama..senang jika membantu.

      Hapus
    2. Komentar ini telah dihapus oleh pengarang.

      Hapus